basisbewerkingen

Basisbewerkingen zijn de elementaire bewerkingen die je op een geordende basis van een finite-dimensionale vectorruimte kunt uitvoeren om een andere basis te verkrijgen. Ze dienen zowel om berekeningen te vereenvoudigen als om van één representatie van vectoren naar een andere te bewegen. De bewerkingen zijn analoog aan de elementaire rijbewerkingen op matrices, maar richten zich op de basisvectoren in plaats van op rijen.

Er bestaan drie hoofdtypen basisbewerkingen:

- Verwisselen van twee basisvectoren: het verwisselen van bi en bj verandert de volgorde van de basis, maar behoudt de spanning en lineaire onafhankelijkheid.

- Vermeerderen van een basisvector met een niet-nul veelvoud van een andere: bijvoorbeeld bi wordt vervangen door bi + c bj waarbij c ≠ 0, terwijl de overige basisvectoren ongewijzigd blijven.

- Vermenigvuldigen van een basisvector met een niet-nul scaler: bi wordt vervangen door α bi met α ≠ 0, wat de lengte of schaal van die vector verandert maar de basis blijft een basis.

Deze operaties veranderen de beschrijving van vectoren in termen van de basis, maar niet de onderliggende ruimte. Ze vormen samen met de lineaire algebra de basis voor het begrip van een veranderende basis en de bijbehorende veranderingsmatrix (de change-of-basis matrix) tussen twee basissen. Basisbewerkingen worden ingezet bij het vinden van praktische representaties van lineaire kaarten, bij het vereenvoudigen van berekeningen in een gekozen basis en bij het controleren van lineariteit en onafhankelijkheid in een basiscontext. In tegenstelling tot rijbewerkingen blijven basisbewerkingen gericht op de gekozen basis in plaats van op een specifieke matrixbewerking.