Perturbatietheorie

Perturbatietheorie is een methode in wiskunde en natuurkunde om de oplossing van een complex probleem te verkrijgen door het probleem uit te drukken als een kleine afwijking van een bekend, eenvoudig oplosbaar probleem. De aanpak maakt gebruik van een kleine parameter ε en houdt in dat de volledige oplossing kan worden uitgedrukt als een reeks in ε, zodat bij elke orde een correctie kan worden berekend die het exacte antwoord benadert wanneer ε klein is.

In de natuurkunde vindt perturbatietheorie brede toepassing. In de kwantummechanica wordt een Hamiltoniaan geschreven als H = H0 + εV, waarbij H0 exact oplosbaar is. Toepassingen omvatten energie- en toestandcorrecties voor niet-degelijke en degelijke systemen, en tijdafhankelijke perturbatietheorie beschrijft overgangsprobabiliteiten tussen staten. In de klassieke mechanica en hemelmechanica analyseert perturbatie de invloed van zwakke krachten op eenvoudige bewegingen, bijvoorbeeld de verstoringen van planetaire banen.

Er bestaan verschillende vormen van perturbatietheorie, waaronder gewone (reguliere) perturbatie, meerdere schalen analyses en gegroepeerde asymptotiek zoals matched asymptotics. Een veelvoorkomend probleem is de verschijning van secular termen die zich ophopen bij lange tijden. In veel situaties is de perturbatietheorie asymptotisch maar niet convergent; dan worden resummatietechnieken of niet-perturbatieve methoden ingezet.

Beperkingen omvatten near-degeneracy, sterke perturbaties en gevallen waarin ε niet klein is. Desondanks biedt perturbatietheorie een systematische manier om bruikbare approximate oplossingen te verkrijgen en inzicht te geven in hoe resultaten afhangen van parameters en kleine verstoringen.