Perkolationstheorie

Perkolationstheorie is een tak van probabilistische wiskunde en statistische fysica die het ontstaan van langeafstandverbindingen in een willekeurig medium bestudeert. Oorspronkelijk ontwikkeld om stroming door poreuze materialen te beschrijven, dient de theorie nu ook als model voor netwerken, materialen en verspreiding van informatie of ziekten.

In de klassieke discrete perkolatiemodellen wordt een medium gemodelleerd als een rooster of grafiek. Bij site-percolatie zijn knopen operationeel met kans p, bij bond-percolatie zijn de verbindingen tussen knopen operationeel met kans p. Een centrale notie is de oneindige cluster: een verbonden component die in onbeperkte grootte kan voorkomen. Het kritieke punt p_c markeert de overgang tussen een regime met uitsluitend eindige clusters (p < p_c) en een regime met een of meerdere oneindige cluster (p > p_c). De ordeparameter P_infty(p) geeft de kans dat een willekeurige site behoort tot een oneindige cluster.

In twee dimensies bestaan enkele exacte resultaten voor specifieke roosters. Zo is p_c = 1/2 voor bondpercolatie op het vierkante rooster en voor sitepercolatie op het driekhoekige rooster. Algemeen geldt: nadere details van het rooster vallen buiten de universumale kenmerken; veel eigenschappen hangen af van de dimensie en tonen universalisme bij de kritieke fase.

Toepassingen zijn onder meer de doorstroming en porositeit van materialen, structurele robuustheid van netwerken, epidemiologie, en informatieverspreiding op sociale en technologische netwerken. Technieken omvatten combinatorische methoden, Monte Carlo-simulaties en renormalisatiegroepproblemen om kritieke exponenten en schaalverdelingen te bestuderen. Perkolatie blijft een fundamenteel model voor faseovergangen en fractale geometrie in complexe systemen.