Normalverdeling

Normalverdeling, ook bekend als normaalverdeling of Gaussische verdeling, is een continue kansverdeling die veel natuurlijke verschijnselen beschrijft. De verdeling is symmetrisch rondom het rekenkundige gemiddelde en heeft een klokvormige, unimodale piek. Een toevalsvariabele X met N(μ, σ^2) heeft als densiteitsfunctie f(x) = (1/(σ√(2π))) exp(-(x-μ)^2/(2σ^2)), waarbij μ het gemiddelde en σ de standaarddeviatie is. De variantie bedraagt σ^2 en de waarden worden langs eindeloze staarten verdeeld.

Belangrijke eigenschappen zijn onder meer dat X een verwachting μ heeft en een variantie σ^2. De skewness is 0 en de excess kurtosis is 0. Als Z ~ N(0,1) geldt, X kan worden uitgedrukt als X = μ + σZ; de standaardnormale verdeling heeft pdf φ(z) = (1/√(2π)) exp(-z^2/2) en CDF Φ(z). De CDF heeft geen eenvoudige gesloten vorm en wordt via tabellen of software berekend.

Een veelgebruikte regel is de 68-95-99,7-regel: ongeveer 68% van de waarden ligt binnen μ±σ, 95% binnen μ±2σ, en 99,7% binnen μ±3σ. De normalverdeling speelt een centrale rol in de statistiek dankzij het centrale limietstelsel: vele populaties of steekproeven vertonen bij toenemende grootte normaal gedrag.

Toepassingen omvatten foutenmodellering, statistische inferentie (zoals t-tests) en standaardisering (z-scores). Beperkingen: niet alle data zijn normaal verdeeld; bij scheve of zware-taartsverdelingen kunnen robuuste of niet-parametrische methoden nodig zijn.