Mehrvariablen

Mehrvariablen bezeichnet die Anzahl unabhängiger Variablen, die in einer mathematischen Funktion oder einem Modell auftreten. In der Mathematik begegnen uns Funktionen mit mehreren Eingabegrößen, zum Beispiel f: R^n -> R oder f: R^n -> R^m, wobei n≥2 gilt. Typische Beispiele sind Funktionen mit zwei oder mehr Variablen, wie f(x, y) = x^2 + y^2.

In der Analysis werden nach jeder Variable partielle Ableitungen gebildet. Der Gradient besteht aus diesen partiellen Ableitungen und liefert die Richtung des stärksten Änderungsraten. Wichtige Konzepte sind der Differential, der Jacobian-Operator (Jacobian) und die Hesse-Matrix (Hessian).

Mehrdimensionale Integration umfasst Integrale über mehrere Variablen, wie Doppelintegrale oder Dreifachintegrale. Das Fubini-Theorem erlaubt die Zerlegung in aufeinanderfolgende Integrationen, sofern die Funktionen bestimmte Bedingungen erfüllt.

Anwendungsgebiete liegen in Physik, Ingenieurwesen, Statistik, Ökonomie, Maschinellem Lernen sowie Datenanalyse. Mehrvariablen ermöglichen die Modellierung von Abhängigkeiten zwischen mehreren Größen und die Untersuchung von Extrema von Funktionen in mehreren Dimensionen.

In Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung spielen multivariate Verteilungen eine zentrale Rolle. Wichtige Größen sind Kovarianz- und Korrelationmatrix sowie die multivariate Normalverteilung. Methoden wie Hauptkomponentenanalyse reduzieren Dimensionalität in Datensätzen mit vielen Variablen.

Numerische Verfahren zur Optimierung oder zur Lösung von Gleichungssystemen mit mehreren Variablen arbeiten mit Vektor- und Matrizennotation. Typische Verfahren sind Gradientenabstieg, Newton-Verfahren oder Quasi-Newton-Methoden.

Notation: Ein möglicher Eingabevektor wird oft als x = (x1, ..., xn) geschrieben, und eine mehrvariable Funktion als f(x) oder F(x). Die Perspektive auf Mehrvariablen erfordert Verständnis von Dimensionen, Skalierung und Kondition der Probleme.