LaplaceGleichungen

LaplaceGleichungen, oft als Laplace-Gleichung bezeichnet, sind eine Klasse linearer elliptischer partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung. In n Dimensionen lautet sie Δu = 0, wobei Δ der Laplace-Operator ist, Δu = ∑_{i=1}^n ∂^2 u/∂x_i^2. Funktionen, die diese Gleichung erfüllen, nennt man harmonische Funktionen.

Eigenschaften dieser Gleichungen sind Linearität, die Stabilität unter Grenztransformationen und das zentrale Mittelwertprinzip: Der Funktionswert an einem Punkt entspricht dem Mittelwert über jeden umschlossenen Kreis oder Ball. Folglich liefern Laplace-Gleichungen glatte Lösungen, und sie besitzen in vielen Kontexten starke Eindeutigkeits- und Regularitätseigenschaften.

Oberflächen- und Randwertprobleme spielen eine zentrale Rolle. Das Dirichlet-Problem nennt man, wenn die Werte der Lösung auf dem Rand eines Gebietes vorgegeben sind; das Neumann-Problem, wenn die Randwerte der Normalableitung festgelegt sind. Die allgemeine Form Δu = f besitzt die Poisson-Gleichung als inhomogene Erweiterung. Lösungen werden oft durch Methoden wie Separation der Variablen, Fourierserien, Greensche Funktionen oder numerische Verfahren wie Finite-Elemente- und Finite-Differenzen-Methoden bestimmt.

Anwendungen finden sich in der Potentialtheorie, Elektrostatik, Fluiddynamik und stationärer Wärmeleitung, wo Laplace-Gleichungen das Gleichgewicht bzw. das Feldverhalten beschreiben. In zwei Dimensionen verbindet sich die Theorie der harmonischen Funktionen eng mit der komplexen Analysis, da Real- und Imaginärteil analytischer Funktionen harmonische Funktionen sind.

Historisch bildeten Laplace-Gleichungen das Fundament der Potentialtheorie und der mathematischen Physik, wobei sie bis heute zentrale Rollen in Theorie und Praxis spielen.