GARCHmodellen

GARCH-modellen, of Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity-modellen, zijn een klasse statistische modellen die gebruikt worden om tijdsafhankelijke volatiliteit te beschrijven en te voorspellen in financiële, economische en milieugerelateerde tijdreeksen. Ze ontstonden als uitbreiding van de ARCH-modellen van Engle (1982) en werden in 1986 geïntroduceerd door Tim Bollerslev. GARCH-modellen leggen uit hoe de voorwaardelijke variantie van een tijdreeks verandert op basis van voorgaande schokken en eerdere variaties.

Het standaard GARCH(p,q)-model geeft de conditionele variantie op tijdstip t weer als sigma_t^2 = alpha0 + sum_{i=1}^p alpha_i epsilon_{t-i}^2 + sum_{j=1}^q beta_j sigma_{t-j}^2, waarbij epsilon_t = sigma_t z_t en z_t i.i.d. met verwachte waarde 0 en variantie 1. De parameters voldoen aan alpha0 > 0, alpha_i >= 0, beta_j >= 0, en som(alpha_i) + som(beta_j) < 1 voor stationariteit. De GARCH(1,1)-vorm is bijzonder gangbaar: sigma_t^2 = alpha0 + alpha1 epsilon_{t-1}^2 + beta1 sigma_{t-1}^2.

Varianten omvatten EGARCH, TGARCH (of GJR-GARCH) en FIGARCH, bedoeld om asymmetrie, lange geheugen of zware staarten te modelleren. Multivariate uitbreidingen zoals BEKK en DCC beschrijven onderlinge bewegingen van volatiliteit tussen verschillende activa.

Schatting gebeurt doorgaans via maximale waarschijnlijkheid, waarbij een verdeling voor z_t wordt verondersteld (bijv. normaal of t-verdeling) om de zware staarten te vangen. De modelkwaliteit wordt beoordeeld met diagnostiek op de residuen en informatiecriteria zoals AIC of BIC. GARCH-modellen worden veel gebruikt in risicobeheer, waardering van activa en volatiliteitsvoorspelling, maar ze kennen beperkingen zoals gevoeligheid voor misspecificatie en beperkte flexibiliteit ten opzichte van sommige niet-lineaire dynamieken.