ARCHmodellen

ARCHmodellen zijn econometrische modellen die tijdsafhankelijke volatiliteit beschrijven in financiële en economische tijdreeksen. Ze stellen dat de voorwaardelijke variantie van de serie afhankelijk is van eerdere schokken. Het oorspronkelijke ARCH-model (Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) werd in 1982 geïntroduceerd door Robert F. Engle. In een basis ARCH(q) model gaat de retorn ε_t uit als ε_t = σ_t z_t, waarbij z_t i.i.d. is met verwachting 0 en variantie 1, en de voorwaardelijke variantie σ_t^2 bepaald wordt door σ_t^2 = α0 + α1 ε_{t-1}^2 + ... + α_q ε_{t-q}^2. De parameters vereisen α0 > 0 en α_i ≥ 0. Hiermee worden perioden van hoge en lage volatiliteit verklaard door de grootte van recente schokken.

Een kenmerk van ARCH-modellen is volatiliteit clustering: perioden van relatief hoge volatiliteit worden gevolgd door andere periodes met hoge volatiliteit. Voor stationariteit moet de som van de ARCH-parameters beperkt blijven, meestal sum α_i < 1.

ARCH-modellen zijn ontwikkeld tot meer algemene GARCH-modellen (Generalized ARCH). Een GARCH(p,q) model heeft σ_t^2 = α0 + sum_{i=1}^p α_i ε_{t-i}^2 + sum_{j=1}^q β_j σ_{t-j}^2. ARCH is een speciale vorm van GARCH waarbij de termen in σ_{t-j}^2 ontbreken (β_j = 0).

Parameterestimatie gebeurt meestal via maximum likelihood, vaak met aanname van normale of t-distributede innovaties. Modelselectie en diagnostiek maken gebruik van tests zoals de ARCH-LM-test en residudiagnostiek. ARCHmodellen worden veel toegepast in financiën voor volatiliteitsvoorspellingen, risicobeheer en optieprijzen, maar kunnen gevoelig zijn voor misspecificatie en finite-sample biases; er bestaan ook geavanceerdere varianten zoals EGARCH en TGARCH om asymmetrie en leverage-effecten te behandelen.