Eigenwaarden

In de lineaire algebra zijn eigenwaarden van een vierkante matrix A scalaren λ waarvoor er een niet-nul vector v bestaat met Av = λv. Deze relatie leidt tot de karakteristieke vergelijking det(A − λI) = 0, waarvan de reële of complexe wortels de eigenwaarden zijn.

Geometrisch gezien is λ de schaalfactor waarmee de richting van het bijbehorende eigenvectorveld onder de lineaire transformatie A wordt vermenigvuldigd. Als λ positief is, wordt de richting uitgezet, zo niet, kan ook een omkering optreden. Voor reële matrices kunnen eigenwaarden reëel of complex zijn; complexe eigenwaarden komen altijd in paren voor en bevatten bijbehorende complexe eigenvectoren.

Eigenschappen: voor een reëel matrix kunnen eigenwaarden herhaald voorkomen (multipliciteiten). De algebraïsche multipliciteit van een eigenwaarde kan groter zijn dan de geometrische multipliciteit, wat aangeeft of A diagonalisierbaar is. Een matrix die symmetrisch is (of Hermitisch in het complexGetal) heeft altijd uitsluitend reële eigenwaarden en een orthogonale/set van eigenvectoren; zo is A diagonaaliseerbaar via een orthogonale basis: A = QΛQ^T. In het algemeen kunnen eigenwaarden complex zijn en vereist diagonalisatie mogelijk een complexe basis.

Berekening en numerieke methoden: het bepalen van de eigenwaarden gebeurt doorgaans via het oplossen van de karakteristieke polynoom of via numerieke algoritmen zoals de power iteratie voor de grootste eigenwaarde, de QR-algoritme, of shift-and-invert methoden.

Toepassingen: eigenwaarden spelen een centrale rol in dynamische systemen, differentialen, en Markov-ketens (stationaire distributie behoort tot de eigenvectoren van de overgangsmatrix met eigenwaarde 1). Ze zijn ook fundamenteel in PCA en bij vibra- en stabiliteitsanalyses.