multipliciteiten

Multipliciteiten is een wiskundig begrip dat aangeeft hoeveel keer een bepaald element voorkomt als wortel van een functie of als eigenwaarde van een matrix. In de context van een polynoom p(x) over een veld K heeft een getal a een multipliciteit m ≥ 1 als (x − a)^m p(x) en (x − a)^(m+1) niet delen. Zo’n multipliciteit heet de wortelmultipliciteit of algebraïsche multipliciteit van a.

Voor een polynoom p kunnen de wortels in de algebraïsche sluiting in factoren worden geschreven als p(x) = c ∏ (x − α_i)^{m_i}, waarbij α_i verschillende wortels zijn en m_i de multipliciteiten. De som van de wortelmultipliciteiten is gelijk aan de graad van p. Hiermee worden dubbele, drievoudige en hogere ordetransparanties van wortels vastgelegd.

In lineaire algebra speelt multipliciteit ook een cruciale rol bij eigenwaarden. De eigenwaarden van een n×n-matrix A zijn de wortels van de karakteristieke polynoom χ_A(λ) = det(A − λI). De algebraïsche multipliciteit van een eigenwaarde λ is de multipliciteit van λ als wortel van χ_A. De geometrische multipliciteit is de dimensie van de nulruimte van A − λI. Voor elke λ geldt 1 ≤ geometrische ≤ algebraïsche, en als de geometrische multipliciteiten gelijk zijn aan de algebraïsche, is de matrix diagoneerbaar.

Voorbeelden: de polynoom p(x) = x^2(x − 4) heeft wortels 0 met multipliciteit 2 en 4 met multipliciteit 1. Multipliciteiten geven ook de orde van een nul van een functie of de intersectiemultipliciteit in de algebraïsche meetkunde aan. Eenzelfde wortel kan meerdere malen voorkomen, wat invloed heeft op differentiatie en perturbaties.

---