Branchregel

Branchregel, in de wiskundige literatuur vaak aangeduid als branching rule, beschrijft hoe een representatie van een groep G bij restrictie tot een ondergroep H ontbree t in directe sommen van irreducibele representaties van H. De regel geeft aan met welke multipliciteiten elke irreducibele H-representatie voorkomt in de restricted module V|H.

In de theorie van Lie-groepen en Lie-algebra’s gaat het om de decompositie van G-representaties wanneer ze beperkt worden tot een subgroep of een subalgebra. Branching rules worden bepaald via gewichtslijnen en wortel systemen, en bestaan vaak uit tabellen of formules voor bekende groep-subgroep-paren. Een klassiek voorbeeld is de restrictie van de fundamentele representatie van SU(3) naar SU(2): de 3 van SU(3) ontbindt als 2 ⊕ 1 onder SU(2).

Voor eindgroepen wordt een representatie V van G bij restrictie aan H ≤ G geschreven als een directe som V|H ≅ ⊕λ mλ Vλ^H, waarbij mλ de multipliciteiten zijn. Deze multipliciteiten kunnen worden berekend met karaktertheorie: mλ = ⟨χ_V|H, χλ⟩, waarbij χV de karakter van V en χλ het karakter van de irreducibele H-representatie λ is. In de Lie-groepen-theorie zijn er algoritmen en resultaten zoals Weyl-karakterformules, en in bepaalde gevallen gebruiken men Gelfand-Tsetlin-patronen of Kostant’s theorema’s om de branching te bepalen.

Branchregels spelen een belangrijke rol in zowel de wiskundige representatietheorie als in de natuurkunde, vooral bij verschijnselen van symmetriebreking en de opbouw van deeltjesrepertoires onder subgroepen van een grotere symmetrie. Zie ook representation theory, Lie-algebra en symmetriebreking.