quotiëntverzameling

Een quotiëntverzameling is in de wiskunde de verzameling van equivalente klassen die voortkomen uit een equivalente relatie op een oorspronkelijke verzameling. Als A een verzameling is en ~ een equivalence relation op A, dan is voor elk element a in A de equivalente klas [a] = { x in A | x ~ a }. De quotiëntverzameling A/~ bestaat uit deze klassen: A/~ = { [a] : a in A }. Een kernkenmerk is dat deze klassen een partition van A vormen: elk element van A behoort tot precies één klasse. Bovendien geldt dat [a] = [b] als en slechts als a ~ b. De natuurlijke afbeelding π: A -> A/~, die elk element a naar [a] stuurt, heet de quotientie-afbeelding.

Eigenschappen en betekenis. Een quotiëntverzameling vangt het idee van “gelijke elementen onder de relatie” samen in één object. De constructie is onafhankelijk van gekozen representanten: elementen van dezelfde klasse worden als één object beschouwd bij het werken in A/~. De relatie moet een equivalentie relatie zijn (reflexief, symmetrisch, transitief) zodat de klassen daadwerkelijk een partition vormen.

Voorbeelden en toepassingen. Een bekend voorbeeld is Z/nZ, de gehele getallen modulo n, waarbij twee getallen congruent zijn modulo n. Een ander voorbeeld is de lokale partitionering van een verzameling door een eigenschap (bijvoorbeeld alle getallen met dezelfde rest bij deling door n). In de algebra leiden congruenties tot quotiëntentructuren: als G een groep is en N een normaal subgroep, dan is G/N de quotiëntgroep en G → G/N door a ↦ aN. Een quotiëntverzameling levert zo zowel een set-theoretisch als een potentieel algebraïsch object op, afhankelijk van de gegeven structuur.