quotiëntgroep

Een quotiëntgroep G/N is de verzameling van linker cosetten van N in G, waarbij N een normale deelgroep van G is. De groepoperatie op G/N wordt gN · hN = (gh)N. Door normaliteit is deze bewerking goed gedefinieerd en stelt het G/N in staat een groep te vormen.

De notatie G/N geeft de structuur van alle cosetten weer, en er bestaat een natuurlijke homomorfisme p: G → G/N, p(g) = gN. Het beeld van p is G/N en de kernel van p is N. De identiteit van G/N is eN = N en het inverse van een coset is (gN)^{-1} = g^{-1}N. Als G eindig is, geldt bovendien |G/N| = |G|/|N|.

Voorbeelden: in de additieve groep Z met N = nZ is G/N ≅ Z/nZ, de groep van getallen modulo n. Een ander voorbeeld: G = S3 en N = A3 is normaal in G; dan S3/A3 ≅ C2.

Belangrijke stelling: de Eerste Isomorfismes (First Isomorphism Theorem) zegt dat voor elke surjectieve groephomomorfisme φ: G → H G/ker φ ≅ im φ. Deze stelling verbindt de structuur van G met die van een afbeelding op H via een quotiëntgroep.

Eigenschappen: subgroepen van G/N komen overeen met de subgroepen H van G die N ≤ H en H normaal in G; via de correspondentie H/N ↔ (G/N)/(H/N). Quotiëntgroepen worden veel gebruikt bij de studie van symmetrieën, modulo-aritmetik en de bouw van complexere groepen.

---