limietwetten

Limietwetten, ook wel limietstellingen genoemd, beschrijven het gedrag van reeksen stochastische variabelen bij n → ∞. Ze geven aan naar welke waarde een gemiddelde of een som convergeert en onder welke voorwaarden dit gebeurt. Ze vormen een theoretisch fundament voor statistiek en probabiliteitsdenken.

Convergentie wordt onderscheiden in verschillende vormen, zoals convergentie in waarschijnlijkheid, bijna surely (a.s.) en convergentie in verdeling. Limietwetten koppelen vaak een bepaalde vorm van convergentie aan een limitverdeling of aan een deterministische limiet, zodat men op lange termijn eigenschappen van cijfers en schattingen kan voorspellen.

Een centrale voorbeelden zijn de wet van de grote getallen en de centrale limietstelling. De zwakke wet van de grote getallen (WLLN) zegt dat het steekproefgemiddelde X̄_n van onafhankelijke, identiek verdeelde variabelen met eindige verwachting μ in waarschijnlijkheid naar μ convergeert; de sterke wet van de grote getallen (SLLN) beweert zelfs dat X̄_n bijna surely naar μ convergeert onder vergelijkbare voorwaarden. De centrale limietstelling (CLT) stelt dat, onder voorwaarden zoals i.i.d. variabelen met eindige variantie σ^2, √n (X̄_n - μ) convergeert in verdeling naar een normale verdeling N(0, σ^2). Dit vormt de basis voor normaalapproximatie van steekproefverdelingen en inferentie.

Andere belangrijke limietwetten zijn onder meer de wet van de iteratieve logaritme (fine-grained limietgedrag van sommen) en de Borel-Cantelli-lemma’s over kansen en almost surely gebeurtenissen. Slutsky’s theorem en vergelijkbare resultaten helpen bij het combineren van verschillende vormen van convergentie.

Toepassingen van limietwetten bevinden zich in statistiek, econometrie, signaalverwerking en risicomodellering, waar ze het begrip van grote-sample gedrag mogelijk maken en inferentiële procedures onderbouwen.