konvoluties

Konvolutie is een wiskundige bewerking die twee functies combineert tot een derde functie die het samenspel tussen de twee weergeeft. Voor continue tijdsfuncties op de reële getallen is de convolution gedefinieerd als (f * g)(t) = ∫ from -∞ to ∞ f(τ) g(t − τ) dτ. Voor discrete tijdreeksen x[n] en h[n] geldt (x * h)[n] = Σ over k van -∞ tot ∞ van x[k] h[n − k]. In zowel het continu- als het discrete geval beschrijft de convolve-actie hoe het gedrag van één functie wordt beïnvloed door de vorm van de andere.

Bijzonder belangrijk is dat convolveert een impulse-responshouding relateert aan een systeem: als f de input is en g de impulse response van een lineair tijdinvariant systeem, dan is de output y = f * g. Daarom speelt konvolutie een centrale rol in signaalverwerking, beeldbewerking en natuurkunde bij het oplossen van lineaire differentiaal- of integrale vergelijkingen.

Eigenschappen zijn onder meer dat konvolutie commutatief is (f * g = g * f), associatief en distributief over optelling. Er bestaat een identiteitsfunctie δ(t) voor continue tijd (of δ[n] voor discrete tijd) zodat f * δ = f. In het frequentiedomein wordt convolution omgezet in eenvoudige vermenigvuldiging: de Fourier-transformatie of andere transformaties voldoen aan F{f * g} = F{f} · F{g}.

Toepassingen omvatten onder meer ruisonderdrukking, beeldscherpte en vervaging via 2D-convolutie met kernels, filterontwerp, probabiliteit (zoals de somzaal van onafhankelijke variabelen), en efficiënte berekeningen via de FFT. Konvolutie biedt een fundamentele brug tussen tijd-domain en frequentiedomein analyse.

---