intervalen

Intervalen is een term met meerdere betekenissen in wiskunde en muziek. In de wiskunde verwijst het naar een deelverzameling van de getallenlijn die wordt weergegeven door een afsloten of open bereik tussen twee getallen. Een interval [a,b] bevat alle getallen x waarvoor a ≤ x ≤ b. Een open interval (a,b) bevat enkel getallen met a < x < b. Verder bestaan halfopen intervals zoals [a,b) of (a,b].

Er zijn ook eindeloze intervallen zoals [a, ∞), (−∞, b], of het onbegrensde interval (−∞, ∞) = de gehele getallenlijn. In de reële getallen vormen intervalen verbonden en convex verzamelingen. In de meetkunde en analyse worden intervallen vaak gebruikt om grenzen en eigenschappen van functies te beschrijven, en ze dienen als eenvoudige bouwstenen voor meer complexe verzamelingen.

Eigenschappen omvatten onder andere dat de snit van twee intervallen meestal een interval oplevert, en dat de unie van aangrenzende intervallen eveneens een interval kan vormen. De notatie biedt een compacte manier om grenzen aan te geven en om continuïteit en limietgedrag te analyseren.

In de muziek verwijst interval naar het verschil in toonhoogte tussen twee noten. De grootte van het interval wordt bepaald door het aantal toontrappen tussen de noten, en de kwaliteit kan major, minor, perfect, diminished of augmented zijn. Belangrijke intervallen zijn de unisono, seconde, terts, kwint en octaaf; de octaaf is een verdubbeling in toonhoogte. Inversie verandert de volgorde van de noten en geeft een gerelateerde, maar soms andere, grootte.