gewichtsfunctie

Een gewichtsfunctie is een functie die aan elk punt x een niet-negatieve waarde w(x) toekent en wordt gebruikt om waarden met verschillende prioriteit of belangrijkheid mee te tellen. Ze komt voor in diverse wiskundige en statistische contexten om de bijdrage van verschillende observaties of gebieden te reguleren.

In de discrete setting kan een gewogen gemiddelde worden geschreven als A_w = (∑_i w_i x_i) / (∑_i w_i). In het continue geval is het analogon A = ∫ w(x) f(x) dx / ∫ w(x) dx. De gewichtsfunctie verdeelt dus de invloed van de functies of datapunten langs x-ruimte.

Eigenschappen van een gewichtsfunctie zijn onder meer dat w(x) meestal niet-negatief is, en dat integrale vormen bestaan om te normaliseren. Vaak wordt gekozen voor een genormaliseerde vorm waarbij ∫ w(x) dx = 1 of ∑ w_i = 1, zodat werts de interpretatie als een verdelingsgewicht of kansgewicht behoudt.

Veelvoorkomende voorbeelden zijn onder meer een uniforme gewichtsfunctie w(x)=1 op een interval, een gaussische gewichtsfunctie w(x)=exp(-(x-μ)^2/(2σ^2)) die nabij μ zwaarder meetelt, en verschillende lineaire of exponentiële vormen die in smoothing of tijdreeksen voorkomen.

Toepassingen zijn onder meer gewogen gemiddelden en regressie (bijv. Weighted Least Squares), kernel- of smoothe-technieken zoals kernel density estimation, numerieke integratie en quadratuur, en in tijdreeksen voor financiering of signaalverwerking om bepaalde regio’s of perioden zwaarder te laten meetellen.

Een gewichtsfunctie biedt thus een manier om prioriteiten toe te kennen aan delen van de input; de keuze van w(x) bepaalt de bias en variatie van de resulterende maatregel. Vaak is normalisatie wenselijk en in sommige gevallen zijn ook negatieve gewichten mogelijk, wat interpretatie en berekening beïnvloedt.