functionruimte

In de wiskundige literatuur verwijst de term functieruimte (functionspace) naar een verzameling functies die als vectorruimte is opgebouwd. Vaak wordt een extra structuur gegeven, zoals een norm of een topologie, waardoor men concepten als afstand, convergentie en continuïteit kan preciseren.

Een functieruimte is doorgaans gesloten onder optellen en scalaire vermenigvuldiging, en heeft daarmee dezelfde algebraïsche eigenschappen als andere vectorruimtes. Daarnaast kan een norm of innerlijk product de ruimte bijbrengen, waardoor afstand en orthogonaliteit gedefinieerd zijn.

Voorbeelden zijn onder meer C[a,b] met de supremumnorm; L^p-ruimten L^p(Ω) (1 ≤ p < ∞) met de norm (∫|f|^p)^{1/p}; Sobolevruimten W^{k,p}(Ω) die functies eisen met zwakke afgeleiden tot orde k; en L^2 als een Hilbertruimte met ⟨f,g⟩ = ∫ f g. Andere veelgebruikte ruimten zijn L^∞ en verschillende soorten Hölder- en Besovruimten.

Veel van deze ruimten zijn compleet (Banach-ruimten); L^2 is bovendien een Hilbertruimte. Dualiteiten spelen ook een rol: de dual van L^p is L^q (1/p+1/q=1) voor 1<p<∞. In bredere zin vormen functieruimten de basis voor analyse, differentiaalvergelijkingen, kansrekening en signaalverwerking, en ondersteunen ze theorieën zoals Fourier-analyse en variatie- en schatteranalyse.