Besovruimten

Besovruimten, ook wel Besov-ruimten genoemd, zijn een familie van functie-ruimten in de functionaalanalyse die de fractionele gladheid van functies meten. Ze zijn genoemd naar de Russische wiskundige Oleg Besov. De ruimten vormen een schaal gedefinieerd door drie parameters: s, de maat voor gladheid; p, de integrabiliteitsparameter; en q, de parameter voor de manier waarop frequentiecomponenten worden samengevat. Ze kunnen worden gedefinieerd op de hele Euclidische ruimte R^n of op ruimten met een beperkt domein.

Een gangbare definitie maakt gebruik van de Littlewood–Paley-decompositie via dyadische blokken Δ_j f van de functie. De Besov-norm wordt typischerwijs geschreven als ||f||_{B^s_{p,q}} = ||f||_{L^p} + (∑_{j≥0} (2^{js} ||Δ_j f||_{L^p})^q)^{1/q} (met de juiste aanpassingen als q = ∞). Er bestaan ook definities via modulus van gladheid of via warmte-kernels, en er zijn varianten die op domeinen of op manifolds gelden.

Besovruimten generaliseren Sobolev- en Hölder-ruimten en vormen een interpolatie-schaal. Voor s niet-geheel en p,q ∈ [1,∞] gelden vaak B^s_{p,p} ≈ Sobolev-Slobodeckijruimten W^{s,p}; B^s_{∞,∞} correspondreert met Hölder-Zygmund-ruimten C^s. In het Hilbertspecifieke geval p = q = 2 blijkt B^s_{2,2} gelijk aan de gebruikelijke Sobolevruimte H^s.

Toepassingen van Besovruimten liggen onder meer in partiële differentiaalvergelijkingen voor regelmatigheid en randvoorwaarden, in de interpolatie- en rompentheorie, en in signaal- en beeldverwerking (waar waveletkarakterisering vaak handig is). Ze bieden een fijnere maatstaf voor smoothness dan veel traditionele ruimtes. Geschiedenis en ontwikkeling zijn verbonden met Besov, Lizorkin en Triebel, die dit gebied in de jaren twintigste eeuw verder hebben uitgebouwd.