equivalentierelatie

Een equivalentierelatie op een verzameling A is een relatie die voldoet aan drie kernvoorwaarden: reflexiviteit, symmetrie en transitiviteit. Reflexiviteit betekent dat elk element a uit A met zichzelf in relatie staat: a ~ a. Symmetrie houdt in dat als a ~ b, dan ook b ~ a. Transitiviteit betekent dat als a ~ b en b ~ c, dan ook a ~ c.

Voor elk element a in A is de equivalenceklasse [a] gedefinieerd als [a] = { x in A | x ~ a }. De verzameling van alle equivalenceklassen vormt een partition van A: de klassen zijn disjunct en samen bedekken ze A. De quotientverzameling A/~ bestaat uit deze klassen als objecten.

Een cruciale eigenschap is dat elk element precies in één klasse ligt, en twee elementen zijn equivalent wel of niet overeenkomstig hun aanwezigheid in dezelfde klasse. Omgekeerd bepaalt een gegeven partition van A in disjuncte delen een equivalence-relatie: twee elementen zijn equivalent als ze zich in dezelfde deelklasse bevinden.

Voorbeelden: de gewone gelijkheidsrelatie op elke verzameling is een equivalentiërelatie. Congruentie modulo n op de verzameling van gehele getallen is een ander voorbeeld: a ≡ b mod n if n | (a − b). Zulke relaties leiden tot quotiëntverzamelingen die veelvuldig voorkomen in algebra, combinatoriek en meetkunde.

Samengevat koppelt een equivalentierelatie elementen aan elkaar in groepen die precies de structuur van een partition van de oorspronkelijke verzameling vormen, en leidt zo tot de constructie van quotiënten en vereenvoudigde representaties.