equivalenceklassen

In der Mathematik bezeichnet der Begriff Äquivalenzklasse (Plural: Äquivalenzklassen) eine Teilmenge eines gegebenen Sets, die durch eine Äquivalenzrelation bestimmt wird. Zwei Elemente gehören zur gleichen Klasse, wenn sie zueinander äquivalent sind. Die Äquivalenzklassen bilden eine Zerlegung des zugrundeliegenden Sets in paarweise disjunkte Teilmengen.

Formal sei S eine Menge und ~ eine Äquivalenzrelation auf S (reflexiv, symmetrisch, transitiv). Für jedes a ∈ S definiert man die Äquivalenzklasse [a] = { x ∈ S | x ~ a }. Die Menge aller Klassen { [a] : a ∈ S } ist eine Partition von S; jede Klasse ist nicht leer und jedes Element gehört zu genau einer Klasse.

Der Quotientenmenge (S/~) ist die Menge der Äquivalenzklassen. Der Abbildungsoperator π: S → S/~ mit π(x) = [x] heißt kanonische Projektion. In algebraischen Strukturen ermöglicht das Bilden von Quotientenstrukturen wie Quotienten-Gruppen, -Ringen oder -Modulen.

Beispiele: Die Kongruenz modulo n auf den ganzen Zahlen definiert x ~ y genau dann, wenn n|(x − y). Die Äquivalenzklassen sind dann [0], [1], ..., [n−1], wobei [k] die Menge aller Zahlen mit Rest k bei Division durch n ist. Eine weitere einfache Äquivalenzrelation ist die Gleichheitsrelation, bei der [a] = {a}.

Äquivalenzklassen dienen dazu, Objekte zu vereinfachen, indem man Mengen von Elementen mit gleichem Verhalten zusammenfasst. Sie bilden eine zentrale Idee in vielen Bereichen der Mathematik und der Informatik sowie in der Konstruktion von Quotientenstrukturen.