QuotientenGruppen

Quotientengruppen entstehen aus einer Gruppe G und einer Normaluntergruppe N ≤ G. Die Quotientengruppe G/N besteht aus den Nebenklassen gN mit g ∈ G; die Multiplikation wird definiert durch (gN)(hN) = (gh)N. Diese Operation ist wohldefiniert genau dann, wenn N normal in G ist. Die Struktur dient dazu, G zu einer kleineren, vereinfachten Gruppe zu aggregieren.

Man schreibt G/N oder G ÷ N. Die Identität von G/N ist die Nebenklasse N, und das Inverse von gN ist g^{-1}N.

Es gibt eine natürliche Abbildung π: G → G/N, π(g) = gN. Sie ist ein surjektiver Gruppenhomomorphismus, und ihr Kern ist N. Damit gilt G/ker π ≅ im π; insbesondere ist G/N isomorph zu dem Bild aller gN. Allgemein gilt der Erste Isomorphiesatz: G/ker φ ≅ im φ für jeden Homomorphismus φ: G → H.

Beispiele: Die additive Gruppe Z mit der Untergruppe nZ liefert die Quotientengruppe Z/nZ, eine zyklische Gruppe, deren Struktur vom Rest bei Division durch n abhängt. Ein weiteres Beispiel: In der symmetrischen Gruppe S3 ist A3 normal, und S3/A3 ist isomorph zu C2.

Wichtige Eigenschaften: Bei endlichem G gilt nach dem Satz von Lagrange |G/N| = |G|/|N|. Der Korrespondenzsatz besagt, dass Untergruppen von G, die N enthalten, genau den Untergruppen von G/N entsprechen. Quotientengruppen ermöglichen damit eine systematische Strukturtheorie und vereinfachen das Studium von Gruppeneigenschaften durch Reduktion auf Normaluntergruppen.