Korrespondenzsatz

Korrespondenzsatz bezeichnet in der Algebra das Fundamentale Korrespondenz-Theorem der Galois-Theorie. Es beschreibt eine eineindeutige Zuordnung zwischen Untergruppen der Galoisgruppe Gal(L/K) einer endlichen Galois-Erweiterung L/K und den Zwischenfeldern E mit K ≤ E ≤ L.

Gegeben eine endliche Galois-Erweiterung L/K ordnet man jeder Untergruppe H ≤ Gal(L/K) den festen Körper L^H zu; umgekehrt ordnet jedem Zwischenfeld E mit K ≤ E ≤ L die Untergruppe Gal(L/E) zu. Diese Zuordnungen sind zweiseitig invers und bijektiv; H1 ≤ H2 entspricht daher L^{H2} ≤ L^{H1}. Der Satz besagt außerdem, dass H normal in Gal(L/K) genau dann entspricht, dass L^H/K eine Normalerweiterung ist, und dass Gal(L^H/K) ≅ Gal(L/K)/H.

Für unendliche Galois-Erweiterungen gilt eine verallgemeinerte Version: Es besteht eine Bijektion zwischen den abgeschlossenen Untergruppen von Gal(L/K) und den Zwischenfeldern L^H, wobei Normalität der Untergruppen der Normalität der entsprechenden Erweiterung entspricht und Gal(L/E) ≅ Gal(L/K)/H gilt.

Der Korrespondenzsatz ist ein zentrales Werkzeug der Galoistheorie: Er verbindet die Gruppenstruktur der Galoisgruppe mit der Feldstruktur der Zwischenfelder und ermöglicht die Bestimmung von Subfeldern durch Gruppenuntersuchungen.