eineindeutige

Eineindeutig, im mathematischen Kontext auch als injektiv bezeichnet, beschreibt eine Abbildung f von einer Menge A in eine Menge B, bei der forskjellige Elemente aus A auf verschiedene Elemente aus B abgebildet werden. Formal gilt: Für alle x1, x2 in A gilt f(x1) = f(x2) nur dann, wenn x1 = x2. Equivalent bedeutet dies, dass für jedes Element y im Bild f(A) höchstens ein Urbild in A besitzt.

Eineindeutigkeit bedeutet auch, dass die Abbildung Elemente nicht dupliziert, d. h. unterschiedliche Eingaben niemals dasselbe Bild haben. Folglich besitzt f eine eindeutige Zuordnung von Eingaben zu Ausgaben. Als Folge ist f linksinjektiv und gilt besonders dann, wenn f(A) eine Teilmenge von B ist. In endlichen Mengen führt Eineindeutigkeit zudem oft zu der Ungleichung |A| ≤ |B|, während bei unendlichen Mengen ähnliche Aussagen mit Kardinalitäten getroffen werden.

Beispiele: Die Funktion f: R → R mit f(x) = 2x ist injektiv, da verschiedene x zu verschiedenen Werten führen. Die Funktion f(x) = x^2 ist auf ganz R nicht injektiv (z. B. f(1) = f(-1)), aber auf dem Intervall [0, ∞) injektiv. Eine injektive Funktion besitzt auf ihrem Bild f(A) eine Umkehrfunktion g: f(A) → A mit g(f(x)) = x für alle x in A.

Zusammenhang: Eineindeutigkeit ist eine der Eigenschaften, die eine Funktion zu einer Bijektion ergänzen, wenn zusätzlich Surjektivität vorliegt. Bijektive Abbildungen besitzen eine eindeutige Umkehrung über den gesamten Codomain. In der Literatur wird eineindeutig oft durch injektiv oder durch das Kürzel inj. bezeichnet.