Zuordnungen

Zuordnungen (auch Abbildungen oder Funktionen genannt) sind ein grundlegendes Konzept der Mengenlehre. Eine Zuordnung f von einer Menge A (Definitionsbereich) in eine Menge B (Zielbereich) ordnet jedem Element a aus A genau ein Element f(a) aus B zu. Die Menge A wird Domain, B Codomain, und das Bild der Zuordnung ist die Teilmenge von B, die durch f getroffen wird. Man schreibt f: A -> B. Die Zuordnung kann durch eine Regel, eine Tabelle oder eine graphische Darstellung beschrieben werden.

Wichtige Eigenschaften betreffen die Art der Zuordnung. Eine Zuordnung ist injektiv, wenn verschiedenes a aus A verschiedene Bilder f(a) hat. Sie ist surjektiv, wenn jedes Element von B das Bild eines Elements aus A ist. Eine Bijektivität liegt vor, wenn beides gilt, also eine eindeutige Zuordnung von jedem a nach B besteht und jedes Element von B getroffen wird. Bijektive Zuordnungen besitzen eine eindeutige Umkehrung, deren Inverse ebenfalls eine Zuordnung ist.

Beispiele helfen beim Verständnis. Eine Zuordnung f: {1, 2, 3} -> {a, b} mit f(1)=a, f(2)=b, f(3)=a ist eine Zuordnung, die weder injektiv noch surjektiv sein muss. Die Funktion f(n) = n^2 mit Domain N und Codomain N ist eine Zuordnung; sie ist injektiv, aber nicht surjektiv, denn nicht jedes natürliche Zahl ist eine Quadratzahl.

Anwendungen finden Zuordnungen in Mathematik, Informatik und Alltag. In der Programmierung entsprechen sie Funktionen, die Eingaben mit Ausgaben verknüpfen; in Datenbanken erfolgen Zuordnungen von Schlüsseln zu Werten. In der Graphentheorie dienen Zuordnungen der Beschriftung von Knoten oder Kanten.