Nebenklassen

Nebenklassen, im Englischen als cosets bekannt, sind in der Gruppenlehre Teilmengen einer Gruppe G, die sich aus einer Untergruppe H ⊆ G ableiten. Die linken Nebenklassen eines G mit H sind die Mengen gH = {gh : h ∈ H} für g ∈ G. Die rechten Nebenklassen lauten Hg = {hg : h ∈ H}. Die beiden Arten von Nebenklassen können sich unterscheiden, insbesondere wenn H kein Normaluntergruppe ist.

Die Nebenklassen bilden eine Partition von G: Jedes Element von G gehört zu genau einer linken Nebenklasse und zu genau einer rechten Nebenklasse. Zwei Elemente g1, g2 ∈ G liegen in derselben linken Nebenklasse genau dann, wenn g1^{-1}g2 ∈ H. Die Menge der linken Nebenklassen wird mit G/H bezeichnet, die Menge der rechten Nebenklassen mit H\G.

Normalität und Quotienten Gruppe: Ist H eine Normaluntergruppe von G (H ⊴ G), dann stimmen linke und rechte Nebenklassen überein, und man erhält die Quotienten-Gruppe G/H mit der Summe bzw. Multiplikation (g1H)(g2H) = (g1g2)H. Es gibt eine natürliche Projektion π: G → G/H, g ↦ gH, die surjektiv ist.

Größen- und Ordnungsbezug: Falls G endlich ist, hat G genau [G:H] linke Nebenklassen, das heißt |G| = [G:H] · |H|. Die Größe jeder Nebenklasse entspricht |H|. Nebenklassen werden u. a. zur Bildung von Quotientenstrukturen und in Beweisen wie dem Satz von Lagrange verwendet.

Beispiel: In der additiven Gruppe der ganzen Zahlen Z mit H = nZ bilden die cosets a + nZ die Restklassen modulo n; es gibt genau n verschiedene cosets und Z/nZ ist der Quotientenring/ -gruppe.