Restklassen

Restklassen, auch Restklassen modulo n, bezeichnet die Äquivalenzklassen der ganzen Zahlen bezüglich der Kongruenzrelation modulo n. Zwei ganze Zahlen a und b gehören zur gleichen Restklasse modulo n, wenn n divides a−b, das heißt a ≡ b (mod n). Die Menge aller Restklassen modulo n wird oft als Z/nZ oder Z_n geschrieben und enthält genau n verschiedene Klassen: [0], [1], …, [n−1]. Eine Restklasse kann durch jeden ihrer Repräsentanten dargestellt werden; üblicherweise wählt man Repräsentanten aus dem Bereich 0, …, n−1, doch jede ganze Zahl gehört zu einer dieser Klassen.

Die Operationen Addition und Multiplikation werden auf die Klassen wohldefiniert definiert: [a] + [b] = [a+b], [a] · [b] = [ab], wobei die Rechenoperationen modulo n erfolgen. Dadurch bilden die Restklassen Z/nZ zusammen mit den Operationen Addition und Multiplikation einen kommutativen Ring mit eins; er hat n Elemente.

Wenn n prim ist, wird Z/nZ zu einem Körper, d. h. jedes Nicht-Null-Element besitzt ein multiplikatives Inverses. Beispiele: Für n=5 ergeben sich die Klassen [0], [1], [2], [3], [4]. Restklassen spielen eine zentrale Rolle in der modularen Arithmetik, der Lösung von Kongruenzen, der Zahlentheorie, Kryptografie und Computerarithmetik. Der Zusammenhang zur zugrundeliegenden Gruppe bzw. zum Ring lässt sich auch durch die Sichtweise als Kosets des Ideals nZ in Z verstehen, wobei jede Klasse eine Coset von nZ darstellt.