Gruppeneigenschaften

Gruppeneigenschaften bezeichnen Eigenschaften von Gruppen, einer fundamentalen Struktur der abstrakten Algebra. Eine Gruppe besteht aus einer Menge G mit einer binären Verknüpfung, meist als Multiplikation oder Addition geschrieben, die zwei Grundaxiome erfüllt: Abgeschlossenheit der Verknüpfung innerhalb von G, Assoziativität der Verknüpfung, ein neutrales Element e in G, das jedes Element unverändert lässt, und für jedes Element g in G existiert ein Inverses g^{-1} in G. Die Gruppe muss nicht zwingend kommutativ sein; Kommutativität bezeichnet man als Abelianität.

Wichtige Grundbegriffe sind Ordnung, Untergruppen und Typen. Ein Element g hat Ordnung n, wenn g^n das neutrale Element ist und n die kleinste solche Zahl ist. Eine Gruppe, die von einem einzigen Element erzeugt wird, heißt zyklisch und ist eine der einfachsten Gruppenarten. Abelsche Gruppen erfüllen zusätzlich Gabelung der Verknüpfung: abelsche Gruppen commutieren.

Gruppen unterliegen zahlreicheren Strukturmerkmalen. Untergruppen H ⊆ G bilden eigene Gruppen. Normalteiler ermöglichen Quotientengruppen G/H, die eine zentrale Rolle in der Zerlegung von Gruppen spielen. Homomorphismen f: G → H erhalten die Gruppenstruktur, und deren Kernel bzw. Bild beschreiben, wie Gruppen zueinander in Beziehung stehen. Zwei Gruppen, die durch Isomorphismus zusammenfallen, werden als gleichartig angesehen.

Weitere wichtige Klassen sind abelsche Gruppen, einfache Gruppen, solvable Gruppen und nilpotente Gruppen. Bauformen wie direkter Produkt oder semidirekter Produkt dienen der Konstruktion neuer Gruppen. Zentral- und Vertraulichkeitskonzepte wie der Mittelpunkt Z(G) und der Kommutator [G,G] liefern Einblicke in Zugehörigkeiten und Struktur. Gruppeneigenschaften verbinden so Algebra, Geometrie und Zahlentheorie auf abstrakte Weise.