Kommutativität

Kommutativität ist eine Eigenschaft einer binären Operation auf einer Menge. Eine Operation ∘ heißt kommutativ, wenn für alle a und b in der Menge gilt: a ∘ b = b ∘ a. Ist dies nicht der Fall, spricht man von Nicht-Kommutativität. Die Eigenschaft bezieht sich auf die Reihenfolge der Operanden und nicht auf andere Eigenschaften wie Assoziativität.

Typische Beispiele sind die Addition und die Multiplikation von reellen Zahlen: a + b = b + a und a · b = b · a. Auch die Vektoraddition in einem Vektorraum ist kommutativ, ebenso das Skalarprodukt. Demgegenüber ist das Kreuzprodukt anti-kommutativ: a × b = −(b × a). Nicht alle Operationen sind kommutativ; Beispiele für Nicht-Kommutativität sind Matrizenmultiplikation (allgemein gilt A B ≠ B A), Funktionenkombination (G ∘ F) und Subtraktion oder Division.

In der algebraischen Terminologie führen kommutative Operationen zu abelschen Strukturen. Ein abelscher Gruppe besitzt eine assoziative, identitäts- und inversionsbegründete Operation, die zusätzlich kommutativ ist. Ein kommutativer Ring oder ein Körper verlangt, dass sowohl Addition als auch Multiplikation kommutativ sind. Viele mathematische Theorien unterscheiden explizit zwischen kommutativen und nicht-kommutativen Strukturen, etwa bei Matrixalgebren, Lie-Algebren und in der nicht-kommutativen Geometrie.

Zusammenfassung: Kommutativität beschreibt, dass die Reihenfolge der Operanden bei einer binären Operation unerheblich ist. Sie spielt eine zentrale Rolle in vielen Bereichen der Mathematik und definiert die Zugehörigkeit zu abelschen Strukturen.