Matrizenmultiplikation

Matrizenmultiplikation ist eine grundlegende Operation der linearen Algebra, durch die zwei Matrizen A und B zu einer dritten Matrix C entsteht, sofern die Spaltenanzahl von A gleich der Zeilenanzahl von B ist. Dabei gilt A ∈ R^{m×n}, B ∈ R^{n×p} und C ∈ R^{m×p}.

Die Einträge von C ergeben sich nach der Row-by-Column-Regel: C_{ij} = Σ_{k=1}^{n} A_{ik} B_{kj}, wobei i = 1,...,m und j = 1,...,p.

Die Matrixmenge AB wird mit der Kurzschreibweise AB bezeichnet. Wichtige Eigenschaften: Assoziativität (A(BC)=(AB)C), Distributivität (A(B+C)=AB+AC) und (A+B)C=AC+BC; eine Einheitsmatrix I_m erfüllt AI_m=A und I_p B=B. Die Operation ist im Allgemeinen nicht kommutativ (AB ≠ BA).

Rechenaufwand: Der naive Algorithmus benötigt O(mnp) Multiplikationen. Für quadratische Matrizen gibt es fortgeschrittene Algorithmen (Strassen, Winograd), die asymptisch bessere Laufzeiten erreichen. In der Praxis kommen optimierte Implementierungen (BLAS, Hardware-Beschleunigung) zum Einsatz.

Anwendungen: Lösen linearer Gleichungssysteme, Transformationen in der Computergrafik, maschinelles Lernen, Graphendarstellung mittels Adjazenzmatrizen, numerische Simulationen und verschiedene Modelle der linearen Transformation.

Beispiel: Sei A = [ [1, 2], [3, 4] ] und B = [ [5, 6], [7, 8] ]. Dann ergibt AB = [ [1·5+2·7, 1·6+2·8], [3·5+4·7, 3·6+4·8] ] = [ [19, 22], [43, 50] ].

Historischer Kontext: Die Matrixmultiplikation entwickelte sich im 19. Jahrhundert, maßgeblich vorangetrieben von Arthur Cayley und James Joseph Sylvester; sie dient als formale Grundlage zur Beschreibung linearer Transformationen.