Normaluntergruppen

Normaluntergruppe N von einer Gruppe G ist eine Teilgruppe, die unter Konjugation invariant bleibt. Formell gilt: Für alle g in G gilt gNg^{-1} = N. Äquivalent ist, dass gN = Ng für alle g in G. Dadurch ist die Quotientengruppe G/N definiert, deren Elemente die Kosetsysteme gN sind und deren Operation durch Kosetenkombination gegeben ist.

Eine zentrale Charakterisierung ist, dass N genau dann Normaluntergruppe ist, wenn sie der Kern eines Gruppenhomomorphismus φ von G in eine Gruppe H ist. Umgekehrt liefert jeder Kern eines Homomorphismus eine Normaluntergruppe. Über Normaluntergruppen lässt sich auch das Quotientenbild konstruieren: G/N ist eine Gruppe, und falls G und N endlich sind, gilt |G/N| = [G:N] = |G|/|N|.

Beispiele: In jeder abelschen Gruppe sind alle Untergruppen Normaluntergruppen. Das Zentrum Z(G) ist normal; die abgeleitete Untergruppe G' ist ebenfalls normal. In der symmetrischen Gruppe S3 ist A3 normal, während Untergruppen der Ordnung 2 im Allgemeinen nicht normal sind.

Eigenschaften: Ist N1 und N2 Normaluntergruppe von G, dann ist N1N2 ebenfalls normal in G, und N1 ∩ N2 ist ebenfalls normal. Für eine Untergruppe H von G gilt, wenn N normal in G ist, dass NH normal in G ist und (NH)/N ≅ H/(H ∩ N). Wichtige Sätze wie das Erste und Zweite Isomorphiesatz helfen beim Verstehen der Beziehungen zwischen Gruppen, Untergruppen, Normaluntergruppen und deren Quotienten. Normaluntergruppen spielen eine zentrale Rolle bei der Konstruktion von Quotientengruppen und der Untersuchung von Homomorphismen.