Teilgruppe

Teilgruppe bezeichnet in der Gruppentheorie eine Untergruppe einer gegebenen Gruppe. Sei G eine Gruppe mit der Verknüpfung ⋅ und dem Identitätselement e. Eine Teilmenge H ⊆ G ist genau dann eine Teilgruppe von G, wenn e ∈ H, und für alle a, b ∈ H gilt a ⋅ b ∈ H sowie der Inverses a^{-1} ∈ H. Dann bildet H mit der gleichen Verknüpfung eine Gruppe.

Notation und Eigenschaften: Man schreibt H ≤ G, wenn H eine Teilgruppe von G ist. Beispiele sind leicht zu sehen: Die Menge der geraden ganzen Zahlen 2Z bildet unter Addition eine Teilgruppe von Z; {e} ist die triviale Teilgruppe; G selbst ist ebenfalls eine Teilgruppe von sich. Aus einem Element a ∈ G erzeugt man die zyklische Teilgruppe ⟨a⟩, die alle Potenzen von a enthält.

Index und Quotienten: Falls H eine Teilgruppe von G ist, kann der Index [G : H] definiert werden, als die Anzahl der kosets von H in G (endliche bzw. unendliche Werte möglich). Ist H zusätzlich normal in G, also gHg^{-1} = H für alle g ∈ G, dann existiert der Quotientengrupp G/H, der die Gruppenstruktur von H als Normalteilgruppe von G abstrahiert.

Weitere Bemerkungen: Teilgruppen spielen eine zentrale Rolle beim Aufbau von Unterstrukturen, bei der Untersuchung von Gruppenhomomorphismen und bei der Klassifikation von Gruppen über ihre Untergruppen. Die Konzepte lassen sich auch auf spezielle Gruppenklassen wie abelsche Gruppen oder Matrixgruppen anwenden.