Normalteilgruppe

Eine Normalteilgruppe, auch Normaluntergruppe genannt, ist in einer Gruppe G eine Untergruppe N, die gN g^{-1} = N für alle Elemente g in G erfüllt. Eine gleichwertige Bedingung lautet, dass die linken und rechten Nebenklassen von N in G miteinander übereinstimmen, also gN = Ng für alle g in G. Dadurch wird die Menge der Kosets von N in G mit einer Gruppenstruktur versehen, die als Quotientengruppe G/N bezeichnet wird.

Eine Normalteilgruppe ist genau dann der Kern eines Gruppenhomomorphismus, wenn man einen Homomorphismus φ von G nach einer Gruppe H betrachtet und N = Ker(φ) gilt. Umgekehrt ist jeder Kern eines Homomorphismus eine Normalteilgruppe. Die Quotientengruppe G/N entsteht durch die Multiplikation der Kosets und fasst die Struktur von G modulo N zusammen.

Wichtige Eigenschaften: Der Mittelpunkt Z(G) von G ist normal, und jede Untergruppe von Z(G) ist ebenfalls normal in G. In abelschen Gruppen sind alle Untergruppen Normalteilgruppen, da alle Elemente kommutieren. Die Menge aller Normalteilgruppen eines G bildet eine Normalteiler-Hierarchie, und Produkt bzw. Schnitt zweier Normalteilgruppen ist wieder Normalteilgruppe. Die Obersicht über Normalteilgruppen ermöglicht Konstruktion von Faktorgruppen und Anwendung des Satzes von Restsatz bzw. des Dreiecks der Homomorphismus.

Beispiele: In der symmetrischen Gruppe S3 ist A3 eine Normalteilgruppe (Index 2). In einem abelschen Gruppenkontext ist jede Untergruppe normal. In Z, der Gruppe der ganzen Zahlen, ist jede Untergruppe nZ eine Normalteilgruppe.

Anwendungen: Normalteilgruppen ermöglichen die Bildung von Quotienten-Gruppen, die Untersuchung von Homomorphismen und die Klassifikation von Gruppen über die Isomorphiesätze.