Gruppentheorie

GruppenTheorie ist ein zentraler Zweig der Mathematik, der algebraische Strukturen namens Gruppen untersucht. Eine Gruppe besteht aus einer Menge G zusammen mit einer binären Verknüpfung, die jedes Paar von Elementen in G auf ein Element in G abbildet und die Gruppeneigenschaften erfüllt: Abgeschlossenheit, Assoziativität, ein neutrales Element und jedes Element besitzt ein Inverses. Falls die Verknüpfung kommutativ ist, spricht man von einer abelschen Gruppe.

Typische Beispiele sind (Z, +) der ganzen Zahlen mit der Addition, (R \ {0}, ·) der nichtnullen reellen Zahlen mit der Multiplikation, sowie die symmetrische Gruppe S_n, die alle Permutationen einer endlichen Menge enthält. Gruppentheorie unterscheidet zwischen endlichen und unendlichen Gruppen und zwischen abelschen und nicht abelschen Gruppen. Eine Gruppe, die von einem einzelnen Element erzeugt wird, heißt zyklische Gruppe.

Wesentliche Konzepte sind Untergruppen, die Teilmengen von G sind, die mit der Verknüpfung wieder eine Gruppe bilden. Die von einem Element erzeugte Untergruppe wird als Erzeugergruppe oder zyklische Untergruppe bezeichnet. Wichtige Strukturen sind Quotienten- (Faktor-) Gruppen bei Normaluntergruppen, sowie Homomorphismen, Isomorphismen und Automorphismen. Relevante Sätze umfassen das Erste Isomorphiesatz und das Lagrange-Theorem, das die Ordnung eines Elements bzw. einer Untergruppe mit der Ordnung der ganzen Gruppe in Zusammenhang bringt. Die Struktur von Gruppen lässt sich oft durch Klassifikation oder durch Darstellungstheorie beschreiben.

GruppenTheorie hat weitreichende Anwendungen in Wissenschaft und Technik. Symmetrie und Raumgeometrie werden durch Gruppen beschrieben; in der Zahlentheorie spielen sie eine zentrale Rolle; in der Physik, Chemie und Informatik finden sich Anwendungen in Kryptografie, Codierungstheorie und Algorithmik. Allgemein dient sie als Grundlage vieler weiterer mathematischer Gebiete, darunter Algebra, Topologie und Geometrie.

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