Gleichheitsrelation

Gleichheitsrelation, auch Identitätsrelation genannt, ist eine Relation auf einer Menge M, die genau dann gilt, wenn zwei Elemente gleich sind. Formal: Eine Relation R ⊆ M × M heißt Gleichheitsrelation, wenn für alle x ∈ M gilt, x R x (Reflexivität); wenn x R y dann auch y R x (Symmetrie); und wenn x R y und y R z, dann x R z (Transitivität). Diese drei Eigenschaften machen R zu einer Äquivalenzrelation.

Die Gleichheitsrelation auf M wird durch die Identitätsrelation Id_M = { (a, a) | a ∈ M } repräsentiert. Ihre Äquivalenzklassen sind triviale Mengen {a} für jedes Element a ∈ M. Demzufolge partitioniert die Gleichheitsrelation M in Einzelmengen, und die Quotientenmenge M / R entspricht M selbst in der trivialen Struktur.

Eigenschaften und Folgen: Da Gleichheit eine Äquivalenzrelation ist, besitzt sie alle üblichem Konsequenzen einer solchen Relation. Jedes Element gehört zu genau einer Äquivalenzklasse, und die Klasse von a enthält nur a selbst. Die Gleichheitsrelation ist die feinste mögliche Äquivalenzrelation auf M, da zwei Elemente dann als gleich gelten, wenn sie identisch sind.

Beispiele: Auf der Menge der reellen Zahlen gilt x ~ y genau dann, wenn x = y. In der Praxis kann der Begriff der Gleichheit je nach Kontext unterschiedliche Bedeutungen haben (z. B. Wertgleichheit oder Referenzgleichheit in der Programmierung), bleibt aber das Fundament der Identität von Elementen.