quotientverzameling

Een quotientverzameling is de verzameling van de equivalence-klassen van een verzameling X onder een equivalence-relatie ~. De notatie X/~ wordt vaak gebruikt. Een equivalence-relatie is een binaire relatie die reflexief, symmetrisch en transitief is; zo verdeelt ~ X in disjuncte delen, de equivalence-klassen [x] = { y in X | y ~ x }.

Elk element van X behoort tot precies één klasse en de klassen vormen een partition van X. Er is een natuurlijke kaart q: X → X/~ gedefinieerd door q(x) = [x], die surjectief is.

Eigenschappen: voor elke functie f: X → Y die constant is op de equivalence-klassen (d.w.z. als x ~ y dan f(x) = f(y)) bestaat er een unieke functie f~: X/~ → Y met f = f~ ∘ q. Zo fungeert de quotientverzameling als de universum waar functies constant op klassen doorfactorn.

Voorbeelden: X = Z en x ~ y als x ≡ y (mod n) leiden tot de quotientverzameling Z/~, genoteerd als Z/nZ, met representanten 0,1,...,n-1. Een ander voorbeeld is realen modulo de gehele getallen: x ~ y als x − y ∈ Z; dan is X/~ gelijk aan R/Z, wat vaak wordt geïnterpreteerd als een cirkel.

Toepassingen: quotientverzamelingen dienen als onderliggende sets van quotientgroepen, quotientringen en quotientruimten, en vormen het fundament voor factorisatie via het partitioneren van X in equivalence-klassen.

---