eindigediffentiemethoden

Eindige-differentiemethoden zijn een klasse numerieke technieken voor het benaderen van oplossingen van differentiaalvergelijkingen door afgeleiden te vervangen door verschilquotienten op een rooster. Ze worden toegepast op zowel randwaarde- als initiële- en randwaarde-problemen in wiskunde, natuurkunde en engineering. Het idee is om een continu probleem te discretiseren in een samengesteld systeem van algebraïsche vergelijkingen dat op een computer kan worden opgelost.

Bij een gegeven domein en randvoorwaarden worden op een ruimtelijk rooster de onbekende waarden op de knooppunten benaderd. Ruimtesegmenten (h) bepalen de sanering van de ruimte-derivaten. Veelvoorkomende formules zijn centrale, voorwaartse en achterwaartse afgeleiden; de tweede afgeleide wordt bijvoorbeeld met een centrale verschilsoerbeeld benaderd als f''(x_i) ≈ (f_{i+1} − 2f_i + f_{i−1})/h^2. Voor tijdonafhankelijke problemen levert dit een stelsel van lineaire of niet-lineaire vergelijkingen op; voor tijdafhankelijke problemen combineert men ruimtelijke discretisatie met een tijdstap Δt.

IJsje tijdstappen kunnen expliciet of impliciet zijn. Expliciete schema’s (bijv. voor het differedr stoffend probleem) zijn eenvoudig maar onderworpen aan stabiliteitsbeperkingen zoals de CFL-conditie, waarbij Δt afhankelijk is van h en de fysische parameters. Impliciete schema’s (bijv. Crank–Nicolson) leiden tot een lineair systeem per tijdstap en zijn over het algemeen stabieler, vaak onvoorwaardelijk stabiel voor lineaire diffusieproblematiek.

Het succes van een eindige-differentiatiemethode wordt bepaald door consistentie, stabiliteit en convergentie. Discretisatiefouten nemen af bij kleinere h en Δt. Toepassingen omvatten de Poisson- en diffusie- (heat) problemen, golf- en transportverschijnselen, en meer complexe multi-dimensionale domeinen. Praktische overwegingen zijn onder meer randvoorwaarden, gridontwerp en efficiënte lineaire- of niet-lineaire oplosalgoritmen.