eigenruimte

Een eigenruimte of eigenspace van een lineaire transformatie T op een vectorruimte V over een veld F is de verzameling van alle vectoren v in V die voldoen aan T(v) = λ v voor een bepaalde scalair λ in F, het eigengetal genoemd. Voor elke gekozen λ geldt de eigenruimte E_λ = { v ∈ V | T(v) = λ v }. De eigenruimte bevat alle eigenvectoren bij λ, plus de nulvector.

De eigenruimte kan ook worden geschreven als E_λ = ker(T − λI), en is daardoor een onderruimte van V. In het geval van een matrix A in F^n is E_λ de nulruimte van A − λI. De dimensie van E_λ is de geometrische multipliciteit van λ; als λ een eigenwaarde is, is deze dimensie ten minste 1 en meestal kleiner dan of gelijk aan de algebraïsche multipliciteit van λ.

Voorbeelden: neem A = [[2,0],[0,3]] over een veld F. Dan zijn λ = 2 en λ = 3 eigenwaarden, met E_2 = { (t, 0) | t ∈ F } en E_3 = { (0, s) | s ∈ F }. Beide eigenspaces zijn eendimensionale onderruimten.

Eigenschappen en toepassingen: als een matrix diagoneerbaar is, dan kan V worden geschreven als een directe som van de eigenspaces: V = ⊕_λ E_λ. Eigenspaces vormen daarmee de bouwstenen van de spectrale ontbinding. Bij berekeningen worden E_λ gevonden door oplossingsruimte van (A − λI)x = 0. Over het veld waarin de operator werkt, kunnen eigenwaarden complex zijn; voor reële matrices kunnen sommige eigenwaarden en bijbehorende eigenruimten in het complexe vlak ontstaan.