basisvergelijkingen

Basisvergelijkingen is een term die in sommige Nederlandse bronnen voorkomt om de verzameling lineaire vergelijkingen te beschrijven die samenhangen met een basis van een vectorruimte. In de wiskunde zelf spreekt men meestal van een basis en van de beschrijving van een subruimte via lineaire relaties. De term wordt vaak informeler gebruikt om aan te geven hoe een basis een subruimte bepaalt of hoe vectoren in samenhang met een basis worden beschreven.

Een basis van een vectorruimte V over een veld F is een eindige verzameling B = {b1, ..., bn} die lineair onafhankelijk is en V compleet spannt. Elke vector v ∈ V kan uniek worden geschreven als v = x1 b1 + ... + xn bn, waarbij de coëfficiënten (x1, ..., xn) de coördinaten van v in deze basis zijn. De coördinaten vormen een vector x ∈ F^n.

Basisvergelijkingen en subruimtes: soms worden de relaties tussen coördinaten en basisvectoren uitgedrukt als een systeem van lineaire vergelijkingen. Een subruimte W ⊆ F^n kan bijvoorbeeld gedefinieerd worden door een homogeen stelsel Ax = 0. De oplossingen van dit stelsel vormen een vectorruimte; een basis van W kan worden gevonden door rij-reductie, vrije variabelen te identificeren en basisvectoren te construeren.

Voorbeeld: laat W ⊆ R^3 gedefinieerd zijn door a x1 + b x2 + c x3 = 0 met aannemelijk c ≠ 0. Door x1 = s, x2 = t te kiezen en x3 = -(a s + b t)/c, krijg je W = span{(1,0,-a/c), (0,1,-b/c)}. Dit illustrateert hoe basisvergelijkingen leiden tot een basis van de subruimte via een parametrisatie.

Zie ook: lineaire onafhankelijkheid, spanning, nulruimte, rij-reductie.