basisconstructie

Basisconstructie is het proces om een basis te vinden voor een vectorruimte of module. Een basis is een verzameling vectoren die de ruimte spannt en lineair onafhankelijk is; elke vector uit de ruimte kan uniek worden geschreven als een lineaire combinatie van de basisvectoren. De grootte van een basis heet de dimensie van de ruimte.

Bij finite-dimensionele vectorruimten (zoals R^n) kan men een basis construeren uit een gegeven verzameling vectoren door rij-reductie (Gaussian-eliminatie). De basis bestaat vaak uit de pivotskolommen van de gereduceerde vorm, of uit een minimale lineair onafhankelijke subset die dezelfde ruimte spant. Voor een subruimte gedefinieerd door Ax=0 vindt men een basis van de nulruimte via Gauss-eliminatie; deze basisvectoren vormen de vrijheidscorrespondentie van de variabelen.

In ruimten met een inwendig product kan men een gegeven basis orthonormaliseren met de Gram-Schmidt-procedure om een orthonormale basis te krijgen. Een orthonormale basis maakt berekeningen vaak eenvoudiger omdat de coëfficiënten direct afleesbaar zijn.

Bij oneindig-dimensionale ruimten bestaan verschillende typen bases. Een Hamel-basis geeft elke vector als een eindige lineaire combinatie; zo’n basis is vaak niet constructief te bepalen, maar bestaat in theorie. Een Schauder-basis maakt elke vector uit in een convergerende oneindige som; voorbeelden zijn de monomiale basis voor polynoomruimten en trigonometrische systemen in L2. In de praktijk kiezen wiskundigen vaak een praktisch bruikbare basis die aan de context voldoet.

Belangrijk: veel bases bestaan, ze zijn niet uniek. Basisuitbreiding luidt dat elke lineair onafhankelijke verzameling uitgebreid kan worden tot een basis van de ruimte.