polynoomruimten

Polynoomruimten zijn wiskundige ruimtes die bestaan uit polynomen. Afhankelijk van de context kunnen ze worden gezien als vectorruimten over een veld F, of als ringen (polynoomringen) met optelling en vermenigvuldiging. In de meeste wiskundige toepassingen wordt uitgegaan van polynomen in een of meerdere variabelen.

Voor één variabele: F[x] is de verzameling van alle polynomen in de variabele x met coëfficiënten uit F. Elk polynoom p in F[x] heeft een formele graad deg(p). De structuur is een commutatieve ring met eenheid, en tegelijk een F-vectorruimte met als basis 1, x, x^2, … . Het is oneindig-dimensionaal over F.

Graad en subruimten: Voor elk n ≥ 0 is F[x]_{\le n} de subruimte van polynomen met graad ≤ n; deze is F-dimensionaal met basis 1, x, ..., x^n. F[x] is ook een graded algebra met gradings gegeven door de graad van p.

Meervoudige variabelen: In meerdere variabelen schrijf je F[x1, ..., xm]. Dit is de polynoomring in m variabelen; elk element is een eindvoudige som van monomiale termen x1^{a1}...xm^{am} met eindig support. Als vectorruimte over F is dit oneindig-dimensionaal. Het heeft een natuurlijke structuur als F-algebra en is Noetherian; alle ideals zijn eindig gegenereerd.

Toepassingen: Polynoomruimten verschijnen in algebra, algebraïsche meetkunde, en formele ontbindingen. Ze dienen als coördinaatringen van variëten en als draagvlak voor concepten zoals factoren, ringen en modules.

Zie ook: polynoom, polynoomring, vectorruimte.