Waarschijnlijkheidsrekening

Waarschijnlijkheidsrekening is de tak van de wiskunde die zich bezighoudt met het kwantificeren van onzekerheid en het bestuderen van regels voor toeval. Het vormt de wiskundige basis voor kansrekening en statistiek en wordt gekenmerkt door de Kolmogorov-axioma's, die een axiomaire basis voor kansruimtes definiëren: een kansruimte (Ω, F, P) met uitkomsten, gebeurtenissen en een kansmaat P.

Een random variable X koppelt aan elk element ω een waarde, en kan discreet of continu zijn. De verdeling van X beschrijft de waarschijnlijkheid dat X een bepaalde waarde aanneemt, via kansfunctie bij discrete variabelen en kansdichtheidsfunctie bij continue variabelen. De verwachting (E[X]), de variantie (Var[X]), en de covariantie geven centrale tendensen en spreiding van X.

Belangrijke concepten zijn onafhankelijkheid en voorwaardelijke kans P(A|B). Bayes' theorema biedt een manier om a priori inschattingen bij te werken met nieuwe data. Veelgebruikte verdelingen zijn binomiale, Poisson en geometrische bij discrete variabelen, en normale, uniforme en exponentiële verdelingen bij continue variabelen. Belangrijke resultaten zijn de wet van grote getallen en de centrale limietstelling, die de som van veel onafhankelijke variabelen beïnvloedt en tot een normale verdeling leidt onder geschikte voorwaarden.

Stochastische processen zoals Markov-ketens modelleren systemen die in de tijd evolueren met probabilistische regels. Toepassingen van waarschijnlijkheidsrekening strekken zich uit over statistiek, natuurwetenschappen, techniek, economie en kunstmatige intelligentie.