Vektorrechnung

Vektorrechnung ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich mit Vektoren und Vektorfeldern sowie den dazugehörigen Rechenregeln befasst. Sie dient der formalen Beschreibung geometrischer Größen in der Ebene und im Raum und bildet die Grundlage für Physik, Technik und Informatik. In der Regel geht es um zwei- bis dreidimensionale Räume, kann jedoch auf beliebige Vektorräume übertragen werden.

Zu den Grundoperationen gehören die Vektoraddition, die Skalarmultiplikation sowie das Skalarprodukt (Punktprodukt) und das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) in drei Dimensionen. Aus ihnen ergeben sich Größe, Richtung und Abstand. Vektoren werden durch Koordinaten dargestellt; Vektorräume, Basen und lineare Abhängigkeiten ermöglichen eine systematische Behandlung.

Vektorfelder weisen jedem Punkt eines Raums einen Vektor zu. Typische Anwendungen finden sich in Geschwindigkeitfeldern, Feldern der Kräfte oder elektrischen Feldern. Differentiation im Vektorrechnen umfasst den Gradient eines Skalarfeldes, die Divergenz und die Rotation (Curl) eines Vektorfeldes; diese Ableitungen liefern lokale Eigenschaften und werden durch Sätze der Vektoranalysis miteinander verknüpft.

Zentrale Sätze der Vektoranalysis verbinden Änderungen entlang von Kurven mit Integralen über Flächen: Greens-Theorem, Stokes-Theorem und der Gaußsche Satz. Diese Sätze spielen eine zentrale Rolle in Physik und Ingenieurwissenschaften und ermöglichen oft die Umwandlung schwerer Oberflächen- oder Flächenintegrale in einfachere Kurvenintegrale.

Historisch geht die Vektorrechnung auf Arbeiten des 19. Jahrhunderts zurück; Gibbs und Heaviside popularisierten die Vektornotation, während Grassmann die Grundlagen der linearen Algebra entwickelte.

Anwendungen finden sich in Mechanik, Elektromagnetismus, Strömungslehre, Robotik, Computergrafik und Optimierung. Die Vektorrechnung steht in enger Verbindung zur Vektoranalysis, die sich mit der Integration von Vektorfeldern befasst.