Punktprodukt

Punktprodukt, auch Skalarprodukt oder inneres Produkt genannt, ist eine Grundoperation der Vektoranalysis, die zwei Vektoren auf eine Zahl abbildet. In R^n wird es üblicherweise defini als a · b = a1 b1 + a2 b2 + ... + an bn. In 2D bzw. 3D hat man die bekannten Formen a · b = a1 b1 + a2 b2 (+ a3 b3).

Zu den zentralen Eigenschaften gehören Kommutativität (a · b = b · a), Bilinearität (αa + βc) · d = α(a · d) + β(c · d) und Distributivität (a + b) · c = a · c + b · c. Für den Standarddotprodukt gilt außerdem: a · a = ||a||^2 ≥ 0, mit Gleichung nur dann, wenn a = 0; damit definiert es eine Norm ||a|| = sqrt(a · a). Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn ihr Punktprodukt 0 ergibt.

Geometrisch lässt sich das Punktprodukt ausdrücken als a · b = ||a|| ||b|| cos θ, wobei θ der Winkel zwischen a und b ist. Diese Beziehung ermöglicht die Bestimmung von Winkeln und Projektionen: Die Projektion von b auf a hat Länge (a · b)/||a||. Die Größe des Punktprodukts hängt von der gewählten Koordinatenrepräsentation ab, bleibt jedoch in einem gegebenen orthonormalen Bezugssystem konsistent und reflektiert die Orientierung der Vektoren.

Hinweise zu komplexen Vektoren: In komplexen Vektorräumen wird oft das Hermitesche Inneres Produkt verwendet, bei dem die erste Komponente konjugiert wird (a* · b), um Positivität sicherzustellen.

Unterscheidung: Im Gegensatz zum Punktprodukt steht das Kreuzprodukt (in 3D), das ein Vektorresultat liefert, während das Punktprodukt eine Skalargröße ergibt.