Stichprobenungleichheiten

Stichprobenungleichheiten sind Ungleichheiten in der Wahrscheinlichkeitstheorie, die Abschätzungen darüber ermöglichen, wie weit eine Stichprobenstatistik von einem zugrunde liegenden Populationsparameter abweichen kann. Sie gelten für verschiedene Arten von Stichproben, oft unter Unabhängigkeit oder bestimmten Abhängigkeitsbedingungen, und geben Wahrscheinlichkeitsgrenzen für Abweichungen von Mittelwerten, Summen oder anderen Funktionswerten der Stichprobe an. Diese Ungleichheiten gehören zum Bereich der Konzentrationsungleichheiten und spielen eine zentrale Rolle in Statistik, Wahrscheinlichkeitstheorie und Anwendungen wie maschinellem Lernen.

Eine der bekanntesten Stichprobenungleichheiten ist die Chebyschev-Ungleichung. Sie liefert eine allgemeine Obergrenze für die Abweichung des Stichprobenmittels vom Erwartungswert, abhängig von der Varianz und der Stichprobengröße. In ihrer verbreiteten Form gilt P(|X̄ − μ| ≥ ε) ≤ Var(X) / (n ε^2) für eine Stichprobe aus identisch verteilten Zufallsvariablen mit endlicher Varianz.

Weitere wichtige Ungleichheiten sind die Hoeffding-Ungleichung, die für unabhängige, identisch verteilte oder allgemein gebundene Zufallsvariablen gilt und Exponential-Abschätzungen der Abweichung liefert; die Bernstein-Ungleichung, die Varianzboundedness stärker berücksichtigt; und die McDiarmid-Ungleichung, die für Funktionen gilt, die sich durch eine Änderung einer einzelnen Variablen nur gering ändern.

Anwendungen finden Stichprobenungleichheiten in der Abschätzung von Fehlern von Schätzern, in der Konstruktion von Konfidenzintervallen, in der Analyse von Lernalgorithmen sowie in der Bewertung von Risiko- und Stabilitätskriterien in empirischen Studien. Sie verdeutlichen das Prinzip der Konzentration von Maßzahlen um ihren Erwartungswert bei zunehmender Stichprobengröße.