Stichprobenschätzer

Ein Stichprobenschätzer ist eine Funktion der Beobachtungen aus einer Stichprobe, die eine Eigenschaft der Grundgesamtheit schätzt. Er dient dazu, aus endlichen Daten Rückschlüsse auf Populationseigenschaften zu ziehen, ohne die gesamte Grundgesamtheit erfassen zu müssen. Typische Beispiele sind der Stichprobenmittelwert x̄ als Schätzer des Erwartungswertes μ, die Stichprobenvarianz s² als Schätzer der Populationsvarianz σ² und der Stichprobenanteil p̂ als Schätzer des Wahrscheinlichkeitsanteils p in binären Merkmalen.

Die Qualität eines Schätzers wird durch Verzerrung (Bias), Varianz, Konsistenz und Effizienz bewertet. Ein unverzerrter Schätzer hat E[θ̂] = θ, eine geringe Varianz führt zu präziseren Schätzungen. Mit zunehmender Stichprobengröße kann der Schätzer unter bestimmten Bedingungen konsistent werden, das heißt θ̂ → θ in Wahrscheinlichkeit. Effizienz bedeutet, dass der Schätzer unter allen unverzerrten oder zulässigen Schätzern eine möglichst geringe Varianz besitzt. Oft werden Schätzer über Methoden wie die Methode der Momente oder die Maximum-Likelihood-Schätzung (MLE) eingeführt, wobei MLE-Schätzer oft konsistent und asymptotisch effizient sind.

Anwendungsfelder reichen von Wissenschaft und Technik bis zur Ökonomie. Wichtig ist die Beachtung von Annahmen, da Verzerrungen durch Stichprobenfehler, Ausreißer oder Nicht-Antworten die Validität beeinträchtigen können. Neben Punktschätzern existieren auch Intervallschätzer, die einen Bereich angeben, in dem der Parameter mit einer gegebenen Wahrscheinlichkeit liegt.