Stichprobenmittelwert

Stichprobenmittelwert, oft abgekürzt als x̄, ist der arithmetische Mittelwert einer Stichprobe. Er fasst die Messwerte einer Stichprobe zusammen und wird häufig verwendet, um den zugrunde liegenden Populationsmittelwert μ zu schätzen. Formal gilt: x̄ = (1/n) ∑_{i=1}^n x_i, wobei x1, x2, ..., xn die Beobachtungen der Stichprobe sind.

Der Stichprobenmittelwert dient primär als Schätzer des Populationsmittelwerts. Unter Annahme unabhängiger und gleich verteilter Stichproben mit dem Erwartungswert μ gilt E[x̄] = μ (unbiasedness). Die Varianz von x̄ ist Var(x̄) = σ² / n, wobei σ² die Varianz der Grundgesamtheit ist. Die Standardfehler-Schätzung erfolgt meist mit SE(x̄) = σ / √n; bei unbekanntem σ wird eine Schätzung durch s, die Stichprobenstandardabweichung, verwendet: SE ≈ s / √n.

Die Verteilung von x̄ hängt von der Verteilung der Einzelbeobachtungen ab. Falls die Xi normalverteilt sind, folgt x̄ einer Normalverteilung mit μ und Varianz σ²/n. Allgemein gilt durch das Zentralmwendig: Bei großen Stichproben ist x̄ annähernd normal, vorausgesetzt Unabhängigkeit und endliche Varianz. Durch das Gesetz der großen Zahlen konvergiert x̄ fast sicher gegen μ, wenn n wächst.

Der Stichprobenmittelwert reagiert empfindlich auf Ausreißer; robustere Größen wie der Median können in solchen Fällen robuster sein. Typische Anwendungen umfassen Schätzung von μ, Konstruktion von Konfidenzintervallen und Hypothesentests, wobei je nach bekannten bzw. unbekannten Varianzen unterschiedliche Standardfehlerformeln verwendet werden.