Standaardbasis

Standaardbasis, in de lineaire algebra van R^n of C^n, is de verzameling van de vectoren die één component equal aan 1 hebben en alle andere componenten 0. Deze vectoren worden meestal aangeduid als e1, e2, ..., en. De standaardbasis vormt een canonieke basis voor de ruimte en wordt vaak gebruikt om coördinaten van vectoren eenvoudig uit te drukken.

Elk vector v in R^n kan uniek worden geschreven als een lineaire combinatie van de standaardbasisvectoren: v = v1 e1 + v2 e2 + ... + vn en. De coëfficiënten v1, v2, ..., vn zijn de componenten van v ten opzichte van de standaardbasis. De kolomvector van deze coëfficiënten is de standaardcoördinaatvector [v] en wordt vaak weergegeven als (v1, v2, ..., vn)^T. De matrix waarvan de kolommen de standaardbasisvectoren zijn, is de identiteitsmatrix I_n.

Eigenschappen: de standaardbasis is orthonormaal in de Euclidische ruimte, omdat e_i ⋅ e_j = δ_ij, waarbij δ_ij de Kronecker-delta is. Hierdoor worden coördinaten direct uit de ruimte afleesbaar en is de representatie van lineaire transformaties eenvoudig: de matrix van een lineaire transformatie ten opzichte van de standaardbasis is simpelweg de matrix die de transformatie beschrijft in deze coördinaten.

Voorbeeld: in R^3 zijn e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0) en e3 = (0,0,1). Een vector (a,b,c) kan geschreven worden als a e1 + b e2 + c e3.

Let op: de standaardbasis is specifiek voor de ruimte waarvoor hij gedefinieerd is (bijv. R^n of C^n) en biedt een eenvoudige, veelgebruikte referentie voor coördinatenselectie, maar is afhankelijk van de gekozen orde en ruimte.