Stabiliteitscriteria

Stabiliteitscriteria verwijzen naar voorwaarden die bepalen of een systeem stabiel blijft onder perturbaties of veranderende omstandigheden. Ze komen voor in vele vakgebieden, waaronder engineering, wiskunde, natuurkunde en economie, en kunnen zowel theoretische als praktische controles raken.

In dynamische systemen wordt stabiliteit vaak beoordeeld met Lyapunov-stabiliteit. Daarbij bestaat een positief-definiete Lyapunov-functie V(x) waarvan de tijdsafgeleide langs elke oplossing negatief is voor afwijkingen van een evenwicht. Dan blijft de toestand nabij het evenwicht; als de afgeleide strikt negatief is, trekt het systeem ernaar toe (asymptotische stabiliteit); bij een exponentiële bound spreekt men van exponentiële stabiliteit.

In lineaire tijd-invariante systemen en in de controlekunde bestaan concrete criteria zoals het Hurwitz-criterium en het Routh-Hurwitz-criterium, die vereisen dat alle eigenwaarden van de systeemmatrix in het linkervlak liggen. Frequente criteria zoals Nyquist en BIBO-stabiliteit worden gebruikt om robuuste stabiliteit te beoordelen vanuit de open- en gesloten-lusrespons. Voor discrete systemen gelden onder meer het Jury-criterium en gerelateerde Schur-criteria.

Voor numerieke discretisaties van tijdafhankelijke problemen gelden andere stabiliteitsregels, zoals de CFL-voorwaarde (Courant–Friedrichs–Lewy) bij partiële differentiaalvergelijkingen en Von Neumann-stabiliteitstudies bij seinmodusdiscretisaties. Deze criteria bepalen of de numerieke oplossing niet uit elkaar klapt.

In thermodynamica en statistische mechanica vereisen stabiele evenwichten positieve responsfuncties zoals warmtecapaciteit en compressibiliteit, en voldoende convexiteit van de relevante vrije-energie. In de economie en financiën worden stabiliteitscriteria toegepast via kapitaaleisen, liquiditeitsbuffers en stresstesten om systemische risico’s te beperken. Samengevat zijn stabiliteitscriteria diverse maar gemeen: ze leveren concrete tests om te controleren of een systeem onder perturbaties voorspelbaar en beheersbaar blijft.