systeemmatrix

Een systeemmatrix is in de lineaire algebra de matrix die een lineair systeem van vergelijkingen repliceert. Meestal spreekt men van de coëfficiëntenmatrix A die de coëfficiënten van de variabelen bevat, en van de uitgebreide of augmented matrix [A|b] die ook de rechterkanten van de vergelijkingen bevat. Een systeem bestaat uit m vergelijkingen in n variabelen x1,...,xn. De coëfficiëntmatrix is dan van grootte m×n, en de vector b van lengte m bevat de constante termen.

Om oplossingen te vinden worden rij-operaties gebruikt: rijen verwisselen, vermenigvuldigen met een niet-nul factor, en het optellen van veelvouden van rijen bij andere rijen. Het doel is het transformeren naar gereduceerde rij-echelonvorm (Gauss-Jordan) of naar rij-echelonvorm. De rang van de coëfficiëntenmatrix R(A) bepaalt samen met de rang van de uitgebreide matrix R([A|b]) de aard van de oplossingsset: als R(A) = R([A|b]) < n is er oneindig veel oplossingen; als R(A) = R([A|b]) = n dan bestaat er precies één oplossing; als R([A|b]) > R(A) is het systeem inconsistent en heeft het geen oplossing. Een homogeen systeem (b=0) heeft altijd de triviale oplossing, en mogelijk extra oneindige oplossingen als de rang-deficiëntie is.

Voorbeeld: het systeem 2x + 3y = 5 en 4x + y = 6 heeft coëfficiëntmatrix [[2,3],[4,1]] en augmented [[2,3|5],[4,1|6]]. Door Gauss-eliminatie verkrijgt men y = 4/5 en x = 13/10, dus een unieke oplossing x=1,3 en y=0,8.

Toepassingen zijn onder meer het oplossen van lineaire systemen in wiskunde en natuurkunde; ze komen ook voor in statistiek en numerieke berekeningen.